带电粒子轨迹

QuickField 从 5.0 版本起支持研究带电粒子在平行平面和轴对称静电场中的运动轨迹。它采用了自有的有限元技术实现以及现代计算算法。

轨迹计算使用的数据

• 已计算出的静电场
• 粒子属性：电荷、质量、初速度或能量；初速度可以指向计算平面之外
• 发射极属性：坐标（所有束流轨迹的起点）、初速度与水平轴夹角的范围，以及束流中轨迹的总条数

可以查看的计算结果

• 束流轨迹在计算平面上的投影
• 轨迹上每一点的运动学参数：速度、加速度，以及到达该点所走过的路径长度与所用时间

计算轨迹时采用的假设

• 不考虑相对论效应
• 任一有限单元内部的静电场随坐标线性变化
• 运动方程中忽略束流空间电荷产生的场（「无限小电流」近似）
• 忽略发射极的具体物理特征，即束流中所有粒子具有相同的起点与动能

按照这些假设，带电粒子在二维静电场 E(x,y) 中的轨迹 x(t)、y(t)、z(t) 可以用牛顿微分方程组描述：

d²x/dt² = (q/m)·Eₓ(x,y)
d²y/dt² = (q/m)·E_y(x,y)
d²z/dt² = 0

把这三个二阶方程改写为六个一阶方程，再补充一个方程：

dL/dt = √[ (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² ]

用来定义粒子在时间 t 内走过的轨迹长度 L(t)。所得方程组用龙格-库塔-默森（Runge-Kutta-Merson）法积分，积分步长自动确定。数值积分在到达有限单元边界之前立即停止，超出单元的那一步被剔除。在单元内的最后一点上，用轨迹关于时间的泰勒级数三次项作外推，并用塔尔塔利亚-卡尔达诺公式求解所得方程，同时考虑在均匀场或零场中方程次数可能降低的情况。